Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 10 № 507010

Приведите пример четырёхзначного натурального числа, кратного 4, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите ровно одно такое число.

Спрятать решение

Решение.

Пусть наше число имеет вид \overlineabcd. Тогда имеем \overlinea плюс b плюс c плюс d = \overline a умножить на b умножить на c умножить на d. И так как число делится на 4, \overline10c плюс d делится на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. Если единица только одна, то произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, две их последние цифры образуют число, делящееся на 4. Нельзя брать числа с нулём, так как в этом случае произведение будет равно нулю.

12: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая 4.

16: тогда одна из оставшихся цифр 1, а никакая другая не подойдёт.

24: значит, оставшиеся цифры — единицы.

Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.

Таким образом, искомые числа: 1412, 4112, 1124.

 

Ответ: 1124, или 1412, или 4112.